[tex] \: [/tex]
Jika:
[tex]~~~~~~[/tex] x = 2 + √7
[tex]~~~~~~[/tex] y = 2 - √7
Nilai dari x² + y² - 4ab adalah ...
SOLUSI UMUM:
[tex]x^2+y^2-4ab=\bf22+16C^2[/tex], dengan nilai [tex]C[/tex] berasal dari persamaan kuadrat [tex]C\left(m^2-4m-3\right)=0[/tex] yang memiliki akar-akar x dan y.
Untuk [tex]C = 1[/tex]: [tex]x^2+y^2-4ab=\bf38[/tex].
Pembahasan
Diketahui
[tex]\begin{cases}x = 2 + \sqrt{7}\\y = 2 - \sqrt{7}\end{cases}[/tex]
Ditanyakan
Nilai dari [tex]x^2+y^2-4ab[/tex]
Penyelesaian
Tidak ada informasi mengenai nilai [tex]a[/tex] dan [tex]b[/tex], sehingga kedua variabel ini adalah variabel “bebas“. Meninjau nilai [tex]x[/tex] dan [tex]y[/tex], kedua nilai tersebut merupakan bentuk akar konjugat (sekawan) dari sebuah persamaan kuadrat [tex]am^2+bm+c=0[/tex], dengan akar-akar [tex]m=x[/tex] dan [tex]m=y[/tex], atau sebaliknya.
Akar-akar sekawan ini memiliki rumus:
[tex]x,y\:=\:\dfrac{-b}{2a}\:\pm\:\dfrac{\sqrt{D}}{2a}[/tex]
Jika [tex]x[/tex] dan [tex]y[/tex] adalah akar-akar dari persamaan kuadrat [tex]am^2+bm+c=0[/tex], dan dengan bentuk [tex]x,y=p\pm\sqrt{q}[/tex], maka:
[tex]\begin{aligned}&x^2+y^2-4ab\\&{=\ }(x+y)^2-2xy-4ab\\&{=\ }\left(p+\sqrt{q}+p-\sqrt{q}\right)^2\\&{\quad}-2\left(p+\sqrt{q}\right)\left(p-\sqrt{q}\right)\\&{\quad}-4ab\\&{=\ }{(2p)}^2-2\left(p^2-q\right)-4ab\\&{=\ }4p^2-2p^2+2q-4ab\\&{=\ }2p^2+2q-4ab\\&{=\ }2\left(p^2+q\right)-4ab\quad...(i)\end{aligned}[/tex]
Perlu diperhatikan bahwa dengan menganggap [tex]x[/tex] dan [tex]y[/tex] merupakan akar-akar dari [tex]am^2+bm+c=0[/tex], maka [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] dan [tex]c[/tex] dapat memiliki banyak alternatif nilai, karena [tex](m-x)(m-y)=0[/tex] dan [tex]C(m-x)(m-y)=0[/tex] sama-sama memiliki akar-akar [tex]x[/tex] dan [tex]y[/tex], dengan [tex]C[/tex] adalah konstanta/faktor pengali, dan [tex]C \in \mathbb{R}[/tex]. Kedua bentuk persamaan kuadrat di atas memiliki akar-akar dan sumbu simetri yang sama, namun ordinat titik puncaknya berbeda.
- Untuk bentuk [tex](m-x)(m-y)=0[/tex]: [tex]a = 1\,,\ b=-(x+y)\,,\ c=xy[/tex]
- Untuk bentuk [tex]C(m-x)(m-y)=0[/tex]: [tex]a = C\,,\ b=-C(x+y)\,,\ c=Cxy[/tex]
Sesuai nilai [tex]x[/tex] dan [tex]y[/tex] yang diketahui di atas, maka [tex]p=2[/tex] dan [tex]q=7[/tex], sehingga dengan substitusi nilai [tex]p[/tex] dan [tex]q[/tex] ke persamaan [tex](i)[/tex] di atas, diperoleh:
[tex]\begin{aligned}&x^2+y^2-4ab\\&{=\ }2\left(2^2+7\right)-4ab\\&{=\ }2(11)-4ab\\&{=\ }\boxed{\ \bf22-4ab\ }\qquad...(ii)\end{aligned}[/tex]
Nilai [tex]x^2+y^2[/tex] konstan, yaitu 22, namun nilai [tex]4ab[/tex] tergantung dari bentuk persamaan kuadratnya. Dengan bentuk persamaan kuadrat [tex]C(m-x)(m-y)=0[/tex], adanya faktor pengali (scaling factor), yaitu [tex]C[/tex], membuat [tex]a[/tex] menjadi [tex]aC[/tex], dan [tex]b[/tex] menjadi [tex]bC[/tex]. Oleh karena itu, persamaan [tex](ii)[/tex] di atas "diproyeksikan" menjadi:
[tex]\boxed{\ x^2+y^2-4ab=\bf22-C^2(4ab)\ }[/tex]
Dengan [tex]a = 1[/tex], maka [tex]C=1[/tex]. Kita tahu bahwa [tex]p=2[/tex] ([tex]p[/tex] konstan, diperoleh dari nilai [tex]x[/tex] dan [tex]y[/tex]), sehingga:
[tex]\begin{aligned}&2=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2}\\&{\Rightarrow\ }b=\bf{-}4\\&{\Rightarrow\ }x^2+y^2-C^2(4ab)\\&{\quad}=22-1^2(-16)\\&{\quad}=22+16\\&{\quad}=\bf38\end{aligned}[/tex]
Persamaan kuadratnya adalah:
[tex]\begin{aligned}&m^2+(-4)m+\left(2^2-\left(\sqrt{7}\right)^2\right)=0\\&\Rightarrow m^2-4m+(4-7)=0\\&\Rightarrow \bf m^2-4m-3=0\end{aligned}[/tex]
Untuk [tex]2m^2-8m-6=0[/tex], akar-akarnya juga [tex]x[/tex] dan [tex]y[/tex] di atas, dan dalam hal ini, [tex]C=2[/tex]. Dengan adanya faktor pengali [tex]C[/tex] ini, [tex]4ab[/tex] juga menjadi konstan, yaitu [tex]\bf-16[/tex]. Sehingga:
[tex]\begin{aligned}&x^2+y^2-C^2(4ab)\\&=22-2^2(-16)\\&=22+64\\&=\bf86\end{aligned}[/tex]
Untuk [tex]3m^2-12m-9=0[/tex], akar-akarnya juga [tex]x[/tex] dan [tex]y[/tex] di atas, dan dalam hal ini, [tex]C=3[/tex]. Sehingga:
[tex]\begin{aligned}&x^2+y^2-C^2(4ab)\\&=22-3^2(-16)\\&=22+144\\&=\bf166\end{aligned}[/tex]
Dan seterusnya.
KESIMPULAN
SOLUSI UMUM:
[tex]x^2+y^2-4ab=\bf22+16C^2[/tex], dengan nilai [tex]C[/tex] berasal dari persamaan kuadrat [tex]C\left(m^2-4m-3\right)=0[/tex] yang memiliki akar-akar x dan y.
Untuk [tex]C = 1[/tex]: [tex]x^2+y^2-4ab=\bf38[/tex].
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Mungkin yang dimaksud 4xy. Maaf kalo salah ya
nilai dari x² + y² - 4xy yaitu:
x² + y² - 4xy
= x² + y² - 2xy - 2xy
= (x - y)² - 2xy
= (2 + √7 - (2 - √7))² - 2(2 + √7)(2 - √7)
= (2 + √7 - 2 + √7)² - 2(2 + √7)(2 - √7)
= (√7)² - 2(2 + √7)(2 - √7)
= 7 - 2(2² - √7²)
= 6 - 2(4 - 7)
= 6 - 2(-3)
= 6 + 6
= 12
Jadi nilai dari x² + y² - 4xy adalah 12.
[answer.2.content]
